拓扑排序用于有向无环图，通过入度法或DFS法生成线性序列。1. 入度法每次选入度为0的节点，更新邻接点入度，直至处理所有节点或发现环。2. DFS法利用深度优先搜索记录完成时间，回溯时加入结果并反转，通过状态标记检测环。两种方法时间复杂度均为O(V+E)，入度法直观易懂，DFS法更易扩展。
拓扑排序用于有向无环图（DAG），目的是将图中所有顶点排成线性序列，使得对于每一条有向边 (u, v)，u 在序列中都出现在 v 的前面。c++ 中常用两种方法实现：入度法（Kahn 算法）和 DFS 法。
1. 入度法（Kahn 算法）
思路是每次选择入度为 0 的节点加入结果序列，并删除该节点的所有出边，更新其邻居的入度。重复此过程直到处理完所有节点或发现环。
步骤：
- 统计每个节点的入度。
- 将所有入度为 0 的节点加入队列。
- 从队列取节点，加入结果，遍历其邻接节点，入度减一；若减为 0，则加入队列。
- 若结果序列长度等于节点数，则排序成功；否则存在环。
代码实现：
#include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; vector<int> topologicalSort(int n, vector<vector<int>>& edges) { vector<int> indegree(n, 0); vector<vector<int>> graph(n); // 建图并统计入度 for (auto& e : edges) { graph[e[0]].push_back(e[1]); indegree[e[1]]++; } queue<int> q; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (indegree[i] == 0) { q.push(i); } } vector<int> result; while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); result.push_back(u); for (int v : graph[u]) { if (--indegree[v] == 0) { q.push(v); } } } if (result.size() != n) { return {}; // 存在环 } return result; }
2. DFS 法（深度优先搜索）
通过 DFS 遍历图，记录节点的“完成时间”——即回溯时将节点加入结果。最后反转结果即得拓扑序。需用状态数组标记节点是否访问、是否在当前递归栈中以检测环。
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状态说明：
- 0：未访问
- 1：正在访问（在递归栈中）
- 2：已访问完毕
代码实现：
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; bool dfs(int u, vector<int>& status, vector<vector<int>>& graph, vector<int>& result) { status[u] = 1; // 正在访问 for (int v : graph[u]) { if (status[v] == 1) return false; // 发现环 if (status[v] == 0) { if (!dfs(v, status, graph, result)) return false; } } status[u] = 2; result.push_back(u); return true; } vector<int> topologicalSortDFS(int n, vector<vector<int>>& edges) { vector<vector<int>> graph(n); for (auto& e : edges) { graph[e[0]].push_back(e[1]); } vector<int> status(n, 0); // 0:未访问, 1:访问中, 2:已完成 vector<int> result; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (status[i] == 0) { if (!dfs(i, status, graph, result)) { return {}; // 有环 } } } reverse(result.begin(), result.end()); return result; }
使用示例
假设我们有 4 个节点，边为：0→1, 0→2, 1→3, 2→3
int main() { int n = 4; vector<vector<int>> edges = {{0,1}, {0,2}, {1,3}, {2,3}}; auto res = topologicalSort(n, edges); // 或者使用 topologicalSortDFS if (res.empty()) { cout << "图中有环" << endl; } else { for (int x : res) cout << x << " "; cout << endl; // 可能输出：0 1 2 3 } return 0; }
基本上就这些。入度法更直观，适合初学者；DFS 法在某些场景下更容易扩展。两种方法时间复杂度都是 O(V + E)。